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『ロケみつ』 「西日本横断ブログ旅」 2回連続1の目の出る確率・第3弾

MBS毎日放送の
ロケみつ ~ロケ×ロケ×ロケ~』・稲垣早希の「目指せ鹿児島!西日本横断ブログ旅」
5月13日深夜放送分では、
広島県入りして、
「しまなみ海道のサイクリング」
と思われる広島県1つ目の通過ポイントが発表されていましたが、
この通過ポイントクリアさせていたら、
しまなみ海道を渡りきって、四国入りしちゃいますよね。
しまなみ海道ではないのかな。

また、今回、
「西日本横断ブログ旅」での3度目の出目「1」での全額没収が放送され、
次回予告の中で、
「2回連続出目1、それは確率2.7%の戦い」
とのナレーションが放送されていましたが、
この確率って、どういう意味の確率で、
どのような計算過程による算出の仕方による確率なのでしょうか。

以前から、このブログ内でも、
2回連続「1」の目が出た場合、スタート地点の有馬温泉に戻るというルールについて、
その確率はどんなものなのだろうかということで、
たびたび「2回連続1の目の出る確率」として、
サイコロを何回ほど振れば、それまでに2回連続で「1」の目が出てしまい、
スタートに返されてしまうものかを考えるべく、
取り上げてみて、みなさんからのコメントもいただいてきていたものの、
うまい計算方法が導けておらずでしたが。

「2回連続1の目の出る確率」に関しては、
最初は、昨年10月にここで掲載した記事(こちら)ですが、
計算に見落とし箇所があったようで、
katuさんからのご指摘により、
1月に修正版(こちら)をここで掲載させていただきましたが、
やはり不十分な記載であったことは私自身も感じていて、
さらにamarさんからこれに関してコメントいただけました。
コメントご指摘ありがとうございました。

前回、私自身もつぶやきを入れていたとおり、

サイコロを5回振り終えた時点での、2回連続「1」の目が出る確率について。
全7776通り(6の5乗)の出方があり、2回連続「1」となるのは、
「1・1・○・○・○」
「●・1・1・○・○」
「○・●・1・1・○」
「○・○・●・1・1」
○には、1~6のどれかの出目がはいるわけであり、
●には、2~6のどれかの出目がはいるわけであり、
(6の3乗)通り+(6の2乗×5)通り+(6の2乗×5)通り+(6の2乗×5)通り
=216通り+180通り+180通り+180通り=756通り。
つまり、サイコロを5回振り終えた時点での、
1度以上スタートに戻される確率は、671/7776≒9.7%となるようですが、

この例で、
「1・1・○・○・○」

「○・○・●・1・1」
で、
「1・1・2・1・1」などが重複してカウントされているなあと。

正しくは、
「1・1・○・○・○」
「●・1・1・○・○」
「○・●・1・1・○」
「●・○・●・1・1」
なのでしょうか。
これで、重複カウントしていた
「1・1・2・1・1」
「1・1・3・1・1」
「1・1・4・1・1」
「1・1・5・1・1」
「1・1・6・1・1」
の5通りがカットされるだけなので、751通りなのではとも思うのですが。
これを計算すると、
(6の3乗)通り+(6の2乗×5)通り+(6の2乗×5)通り+(5の2乗×6)通り
=216通り+180通り+180通り+150通り=736通り。
となっちゃうんですよね。

amarさんご指摘のように、
「●・○・●・1・1」
「○・●・●・1・1」
としてカウントすると、
katuさんの書き込みコメントと同様、
「2・2・2・1・1」などを重複カウントしているようにも、私も感じました。

難しい確率計算なのでしょうか、これ。
なんだか、これ、シリーズ化しそうです。(笑)

amarさん、katuさん、そして、そのほかのみなさんも、
ちょっとしたご指摘、情報、計算算出のアドバイスでもなんでもかまいませんので、
なお、引き続き、コメント募集しておきます。よろしくお願いいたします。

稲垣早希が、
2回連続「1」の目を出して、スタート地点の有馬温泉に戻るほうが先か、
ここで、この確率が50%に至ってしまうのが何回目を突き止められるのが先か。

5月13日深夜放送分での次回予告の雰囲気では、
なんとなくスタート有馬温泉に戻されちゃったようにも感じさせる予告映像でしたよね。

稲垣早希の「関西縦断ブログ旅」の放送内容一覧は、こちら
稲垣早希の「四国一周ブログ旅」の放送内容一覧は、こちら
稲垣早希の「西日本横断ブログ旅」の放送内容一覧は、こちら

ロケみつ ~ロケ×ロケ×ロケ~ 桜・稲垣早希 関西縦断ブログ旅 1 トラの巻
ロケみつ ~ロケ×ロケ×ロケ~ 桜・稲垣早希 関西縦断ブログ旅 2 パンダの巻
ともに 2010年6月2日発売




fjさん、コメントありがとうございます。
fjさんのコメント読ませていただいて、
その算出法、たしかに正しいようで納得しました。

計算の丁寧な説明のほどまで、ありがとうございます。
この確率が気になっていたので、これにて解決ということで、fjさんに感謝です。

エクセルにでも入力してみて、各回での確率計算もしてみたいと思います。
fjさんの書いていただいた結果によると、
約30回目あたりで、確率50%に至ってしまうようですね。
今回、27回目のサイコロにて、2回連続1の目を出してでしたが、
ほぼ確率論的な値だったといえるのでしょうか。

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コメント

計算法

n回サイコロを振ったときに、
1が2回以上連続で出ないケースの数を
求めて、6のn乗から引き算するのが
簡単だと思います。

詳細は、またの機会に

  • 2010/06/18(金) 03:32:42 |
  • URL |
  • fj #-
  • [ 編集]

続き

サイコロをn回振って、
1が2回連続して出ないような場合の数のうち
n回目が1のものを A(n)
n回目が1以外のものを B(n)
と表現するとします。

漸化式として、以下が成立します

A(n+1) = B(n)
B(n+1) = 5 * A(n) + 5 * B(n)

また、

A(1) = 1 , B(1) = 5

なのは、自明だと思います

 上の式に従って A(n),B(n)を順番に求めていって、
  1 - ( A(n) + B(n) ) / 6^n
を調べれば、答えは求まります

 手計算でやるのは、大変なので、
上の漸化式を行列表示にして、
    v(n+1) = M * v(n)
と書けば
    v(n) = M^n * v(1)
 なので、
 行列演算ができるソフト(mathematicaとか)を使えば
 nが大きい場合でも、楽に計算できます

一応、
( A(n) + B(n) ) / 6^n の結果だけ書いておくと
 
n=10 0.798794
n=20 0.624489
n=30 0.48822
n=40 0.381685
n=50 0.298398
n=60 0.233285
n=70 0.18238
n=80 0.142583
n=90 0.11147
n=100 0.087146
n=200 0.00743277
n=300 0.000633949

これが、n回振ることを仮定したときに、
1が2回連続して出ない確率になります

 

  • 2010/06/22(火) 04:15:19 |
  • URL |
  • fj #-
  • [ 編集]

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